Question

已知函数，其中为常数，.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）是否存在实数,使的极大值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）不存在，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）由题意，而曲线在点处的切线的斜率为，因此先求导数，得，故切线方程为；（2）这种存在性命题都是先假设存在，然后去求参数的值，如能求得，则存在，如求不出，说明假设错误，结论就是不存在，利用导数公式可得，极值点是使的点，本题中可得或，由于已知条件是，可分类讨论，时，在上恒成立，即在上单调递减，无极值，当时，，通过讨论在上的符号，确定出的单调性，也即确定出极大值点有，极大值为，接下来考虑的是能否等于，解方程是不可能的（可以猜测计算出），可讨论函数的单调性，确定其值域或最值.，因此在单调递增，从而，故无解，不存在.

试题解析：（1），，，

，

则曲线在处的切线方程为.

（2）

的根为，

，

当时，，在递减，无极值；

当时，，在递减，在递增；

为的极大值，

令，，

在上递增，，

不存在实数，使的极大值为.

考点：导数与切线，导数与函数的单调性及函数的极值.

【方法点睛】本题主要考查了导数与切线，导数与函数的单调性及函数的极值问题，考查了分类讨论的数学思想，函数的思想，属于难题.求函数图象上某点处的切线，关键是根据导数的几何意义求出切线的斜率；研究函数的极值，首先要研究其单调性，本题中给出的函数含有参数，应先讨论导函数的两个零点的大小，确定其单调性进而确定极值点，求出函数的极值，再构造函数探索实数的存在性.