Question

已知函数．

（I）讨论的单调性并求最大值；

（II）设，若恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（I）在单调递增，在单调递减，的最大值为；（II）.

【解析】

试题分析：（I）求导，列表研究在在定义域上的符号变化情况，得到其单调区间和极大值点，得其单调区间和最大值；（II）恒成立即，令，通过讨论研究其再单调性，得到的最小值，即可求得实数的取值范围．

试题解析：

（I）由题有，

可知，在单调递增，在单调递减；

的最大值为

（II）由题有

令，则，

当时，当时，，则单调递增，则，即恒成立，故

当时，当时，，单调递减，则，则不能在上恒成立．

综上：实数的取值范围是

考点：利用导数研究函数的单调性、最值及不等式的恒成立问题.

【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值及不等式的恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题.研究函数的单调性就是研究导函数在其定义域内的符号变化情况，可通过列表解答，简单、清晰；本题解答的难点是不等式恒成立，通过整理得到恒成立，构造新函数，通过讨论参数的范围研究其单调性得到最小值情况，即可求得的范围.