Question

是椭圆（）上任意一点，是椭圆的右焦点，为左顶点，为上顶点，为坐标原点，已知的最大值为，最小值为．

（I）求椭圆的标准方程；

（II）求的面积的最大值．

Answer

（I）；（II）.

【解析】

试题分析：（I）由椭圆的几何性质可知的最大值为椭圆上的点到焦点的最大值即，最小值为椭圆上的点到焦点的最小值即，解方程组即可求得，再根据求得，即可得到椭圆的标准方程；（II）易求直线的方程为，设直线与椭圆相切于轴下方的点，则的面积为的面积的最大值，整理方程组，根据判别式求得的值，根据两点间的距离公式求出的边，由两平行线间的距离公式求得高，即可求得的面积的最大值．

试题解析：（I）由椭圆性质可知，其中，，

因为，故，则，解之得

故，椭圆的方程为

（II）由题知直线的方程为，设直线与椭圆相切于轴下方的点（如上图所示），则的面积为的面积的最大值．

此时，直线与直线距离为，而

考点：椭圆的标注方程及直线与椭圆的位置关系.

【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标注方程及直线与椭圆的位置关系，考出了椭圆的简单几何性质和方程的思想，属于中档题.本题第一问中求椭圆的标准方程时，要把握好椭圆远地点和近地点的几何意义，就是椭圆长轴的两个端点到焦点的最大值和最小值.第二问中，求的面积的最大值，由于边为定值，所以只需要点到直线的距离最大即可，利用运动与变化的观点把直线平移到与椭圆相切时，高最大，再根据方程的思想求得切线方程，问题就容易解决了．