Question

  已知函数.

（I）讨论的单调性；

  （II）若对任意且，有恒成立，求实数a的取值范围.

Answer

（I）当时，在上递增，当时，在上递减，在上递增，时，在上递减，在上递增；（II）.

【解析】

试题分析：（I）讨论三种情况：，，，分别令，可得增减区间；（II）恒成立等价于在上单调递减，（），恒成立可得.

试题解析：（I）由题（）

（1）当时，，所以在上递增,

（2）当时，由得，得

所以在上递减，在上递增

（3）当时，由得，得

所以在上递减，在上递增

综上，时，在上递增，当时，在上递减，在上递增，时，在上递减，在上递增.

（II）若，由得

若，由得

令，所以在上单调递减

又（）

（1）当时，，不符合题意；

（2）当时，由得，得

所以在上递减，在上递增，所以，即

（3）当时，在上，都有 所以在上递减，即在上也单调递减

综上，实数的取值范围为.

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得的最大值.