Question

给定椭圆，称圆C₁：x²＋y²＝a²＋b²为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点(0，1)．

（I）求实数a，b的值；

（II））若过点P(0，m)(m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C₁所截得的弦长为2，求实数m的值．

Answer

（I）；（II）.

【解析】

试题分析：（I）记椭圆的半焦距为．由题意得，,由此能求出；（II）由（I）知，椭圆的方程为，圆的方程为. 设直线的方程为,由,得,由此利用根的判别式、弦长公式、圆心到直线的距离, 结合知识点能求出.

试题解析：（I）记椭圆C的半焦距为c．由题意得，，，解得，.

（II）由（I）知，椭圆C的方程为＋y2＝1，圆C1的方程为x2＋y2＝5．

显然直线l的斜率存在．设直线l的方程为，即

因直线l与椭圆C有且只有一个公共点，故方程组（*）有且只有一组解．

由（*）得.

从而．化简，得 ①

因为直线l被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为2，

所以圆心到直线l的距离． 即 ②

由①②，解得， 因为，所以．

考点：1、待定系数法求椭圆方程；2、韦达定理及点到直线的距离公式.

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系韦达定理及点到直线的距离公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.