Question

如图，三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，M，N分别为AB，B₁C₁的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面AA₁C₁C；

（Ⅱ）若CC₁＝CB₁，CA＝CB，平面CC₁B₁B⊥平面ABC，求证：AB平面CMN．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取的中点,连接，证得四边形为平行四边形, 再由线面平行的判断定理即可得到；（Ⅱ）运用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质和判定定理，即可得证.

试题解析：（Ⅰ）取A1C1的中点P，连接AP，NP．

因为C1N＝NB1，C1P＝PA1，所以NP∥A1B1，NP＝A1B1

在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1＝AB．故NP∥AB，且NP＝AB．

因为M为AB的中点，所以AM＝AB．所以NP＝AM，且NP∥AM．

所以四边形AMNP为平行四边形．所以MN∥AP．

因为AP平面AA1C1C，MN平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C .

（Ⅱ）因为CA＝CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB．

因为CC1＝CB1，N为B1C1的中点，所以CN⊥B1C1．

在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC∥B1C1，所以CNBC．

因为平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC＝BC．CN平面CC1B1B，

所以CN⊥平面ABC，因为AB平面ABC，所以CN⊥AB．

因为CM平面CMN，CN平面CMN，CM∩CN＝C，

所以AB⊥平面CMN．

考点：1、线面平行的判定定理；2、面面垂直的性质定理和线面垂直的性质和判定定理.