Question

定义在上的函数满足，函数（其中为常数），若函数在处的切线与轴垂直

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调区间；

（3）若满足恒成立，则称比更靠近，在函数有极值的前提下，当时，比更靠近，试求的取值范围

Answer

（1）；（2）在上单调递减，在上单调递增；（3）

【解析】

试题分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求函数的解析式；

（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数的单调区间；

（3）根据更靠近的定义，构造函数，求函数的导数，利用最值和导数的关系进行求解即可．

试题解析：（1）

由于函数在处的切线与轴垂直，

（2）

①当时，，在上单调递增

②当时，令，得 ，

在上单调递减，在上单调递增

（3）由于函数有极值，

由题意知， （*）

设

因为在上为减函数，又

所以，当时，

当时，

在上为增函数，

，在上为增函数

①当时，（*）即亦即

设，因为在上为减函数

，即

②当时，（*）即亦即

设

在上为减函数

在上为减函数，

综上可知

考点：利用导数研究函数的性质

【名师点睛】本题主要考查不等式恒成立，属难题.解题时利用函数单调性最值和导数之间的关系，是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度比较大．