Question

已知曲线上的任意点到点的距离比它到直线的距离小1，

（1）求曲线的方程；

（2）点的坐标为，若为曲线上的动点，求的最小值

（3）设点为轴上异于原点的任意一点，过点作曲线的切线，直线分别与直线及轴交于，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在轴上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？请证明你的结论

Answer

（1）；（2）的最小值为2；（3）线段的长度为定值

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线的定义得出轨迹方程；

（2）设，将表示为（或）的函数，根据函数性质求出最小值；

（3）设坐标和直线的斜率，根据相切得出的关系，求出坐标得出圆的圆心和半径，利用切线的性质得出的长．

试题解析：（1）设为曲线上的任意一点，依题意，点到点的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，

所以曲线的方程为

（2）设，则

因为，所以当时，有最小值2

（3）当点在轴上运动（与原点不重合）时，线段的长度不变，证明如下：

依题意，直线的斜率存在且不为0，设，代入得，

由得

将代入直线的方程得，又，故圆心

所以圆的半径为

当点在轴上运动（点与原点不重合）时，线段的长度不变，为定值

考点：抛物线的定义及其标准方程，向量的数量积运算，直线与圆锥曲线的关系