Question

如图甲，圆的直径，圆上两点在直径的两侧，使，沿直径折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），为的中点，根据图乙解答下列各题：

（1）若点是弧的中点，证明：平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值

Answer

（1）见解析；（2）平面与平面所成的锐二面角的余弦值为

【解析】

试题分析：（1）根据线面平行的判定定理进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法表示出的坐标，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

试题解析：（1）证明：连接，为的中点，，

又

，且点是弧的中点，

又

且

又

（2）如图，取弧中点，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系

则，

设平面的法向量为，

由可得，即，

取，得

同理可得平面的法向量为

，

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为

考点：直线与平面平行的判定，二面角的计算