Question

已知椭圆的左右焦点为F₁，F₂，抛物线C：y²=2px以F₂为焦点且与椭圆相交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），点M在x轴上方，直线F₁M与抛物线C相切．

（I）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；

（II） 设A，B是抛物线C上两动点，如果直线MA，MB与y轴分别交于点P，Q．△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．

Answer

（1）（1，2）、（1，﹣2）；（2）-1.

【解析】

试题分析：（1）由椭圆方程可得，从而得到椭圆两焦点坐标．又由抛物线C的焦点，可得p的值，可得抛物线C的方程，∵点M在抛物线C上，表示出直线F1M的方程

代入抛物线得一元二次方程，由F1M与抛物线C相切，则△=0， 可得M,N的坐标．

（2）先设出,．写出则，， 因为△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，可得kMA=﹣kMB．可得 ，可得kAB= 所以直线AB的斜率为定值﹣1．

试题解析：（1）由椭圆方程得半焦距．

∴椭圆焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．

又抛物线C的焦点为，∴，解得p=2．

∴抛物线C的方程：y2=4x．

∵点M（x1，y1）在抛物线C上，∴．

直线F1M的方程为．

代入抛物线C得，即．

∴

∵F1M与抛物线C相切，

∴△=，

∴x1=1．

∴M、N的坐标分别为（1，2）、（1，﹣2）．

（2）直线AB的斜率为定值﹣1．

证明如下：设,．

则，同理，

∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，

∴kMA=﹣kMB．即

∴kAB=

所以直线AB的斜率为定值﹣1．

考点：求抛物线方程及定值问题