Question

如图，四棱锥，底面是的菱形，侧面是边长为的正三角形，且与底面ABCD垂直，为的中点．

（I）求证：；

（II）求直线与平面所成的角的正弦值．

Answer

（I）证明见解析；（II）

【解析】

试题分析：证明线线垂直常用线面垂直，证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.或定义法利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全,证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等.

试题解析：（I）取中点，连接，，，

由题意可知，均为正三角形．

所以，．

又，平面，平面，

所以平面，

又平面，

所以．

（II）方法1：由（1）可知，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面．即为三棱锥的高．

在中，，

在中，，，

边上的高，

所以的面积．

设点到平面的距离为，由得，

，

又，

所以，解得．

故点到平面的距离为．

设直线与平面所成的角为

则，

所以直线与平面所成的角的正弦值为．

方法2：用空间向量来计算.

考点：线线垂直，直线与平面所成的角的正弦值.

【方法点睛】利用向量法证明立体几何问题：(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.