Question

设函数

（1）求的单调区间；

（2）若为整数，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.

Answer

（1）f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增.（2）的最大值为 .

【解析】

试题分析：（1）确定函数f（x）=ex-ax-2的定义域是R，求导数f′（x）=ex-a，

讨论a≤0，a＞0，等不同情况；

（2）转化得到，

构造函数，利用导数研究该函数的最值.

试题解析：（1）函数f（x）=ex-ax-2的定义域是R，f′（x）=ex-a，

若a≤0，则f′（x）=ex-a≥0，所以函数f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增

若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=ex-a＜0；

当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex-a＞0；

所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增

（2）由于a=1，

令，，

令，在单调递增，

且在上存在唯一零点，设此零点为，则

当时，，当时，

，

由，又

所以的最大值为2

考点：1、应用导数研究函数的性质；2、函数的零点；3、转化与化归思想．

【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题关键是利用转化与化归思想、应用导数研究函数的性质，将问题转化成确定函数的最值问题，应用确定函数最值的方法.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.