Question

在四棱锥中，底面是直角梯形，，,平面⊥平面

（1）求证：⊥平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.

Answer

（1）证明：见解析.（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用，得到AB⊥BC根据平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB平面ABCD，得到结论.

（2）通过以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O－xyz.利用“空间向量方法”求解.

试题解析：（1）证明：因为，所以AB⊥BC

因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB平面ABCD，

所以AB⊥平面PBC.

（2）如图，取BC的中点O，连接PO，因为PB=PC，所以PO⊥BC.因为PB=PC，所以PO⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O－xyz.

不妨设BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD得，. 所以，设平面PAD的法向量为.因为，所以令，则.所以.

取平面BCP的一个法向量，

所以

所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为

考点：1、垂直关系；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用．

【名师点晴】本题主要考查空间想象能力、基本运算能力、转化与化归思想等，属于中档题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线等．角与距离的计算问题，往往有两种思路，一是“几何法”，二是“空间向量方法”，应视题目特点灵活选择.