Question

根据国家《环境空气质量标准》规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；

（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；

（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望和方差.

Answer

（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米． （2），该居民区的环境需要改进．

（3）变量的分布列为（天）,或（天） ；

【解析】

试题分析：（1）利用定义确定．

（2）按平均数公式，计算去年该居民区PM2.5年平均浓度．与标准对比，作出结论，

（3）记事件表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，确定. 随机变量服从得到分布列、数学期望、方差.

试题解析：（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．

（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为（微克/立方米）．因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，

故该居民区的环境需要改进．

（3）记事件表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，

则. 随机变量的可能取值为0,1,2.且.

所以， 所以变量的分布列为

（天）,或（天）

考点：1、平均数、众数、中位数；2、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差；3、二项分布．

【名师点晴】本题主要考查的是离散型随机变量的分布列与数学期望、方差、平均数、众数、中位数、二项分布等，综合性较强，属于中档题．根据二项分布确定离散型随机变量的分布列时一定要万分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误．．