Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，若斜率为的直线与轴、椭圆顺次相交于(点在椭圆右顶点的右侧)，且.求证直线恒过定点，并求出斜率的取值范围．

Answer

（1） （2） .

【解析】

试题分析：（1）由题意布列的方程组，求得

（2）由题意，设直线的方程为

由得

由确定，应用一元二次方程根与系数的关系，

确定的不等式.

试题解析：（1）由题意知，∴，即.又∵，∴∴椭圆方程为

（2）由题意，设直线的方程为

由得

由得，

则有.

∵

且

又，则，即，

化简得

将代入上式得，

∴直线的方程为，即直线过定点．

将代入

得即，又∵，

∴直线的斜率的取值范围是.

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、不等式解法．

【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系等，得到的不等式.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.