Question

已知函数，且当时，的最小值为2．

（1）求的值，并求的单调递增区间；

（2）先将函数的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和．

Answer

（1）,；（2）．

【解析】

试题分析：（1）先利用配角公式将函数的解析式化成的形式，再利用函数的最值求出值，再利用整体思想求出函数的单调区间；（2）先利用三角函数的图象变换规律得到函数的图象和解析式，再利用函数的对称性求解．

试题解析：（1）函数，

所以，

，得；

即，

由题意得，，得，

所以函数的单调递增区间为．

（2）由题意得，

又由得，

解得或，

即或，

因为，所以或，故所有根之和为

考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象变换；3.三角函数的图象与性质．

【易错点睛】本题考查利用配角公式进行三角恒等变换、三角函数的图象变换以及三角函数的图象与性质，属于中档题；本题的易错点在于三角函数的图象变换，在处理三角函数的图象变换时，要注意“先左右平移再左右伸缩”和“先左右伸缩再左右平移”的区别，且要注意平移的单位只是“针对自变量而言”.