Question

设（其中），．

（1）定义的长度为，求的长度；

（2）把的长度记作数列，令．

求数列的前项和；

是否存在正整数，（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）；存在．

【解析】

试题分析：（1）由，得，解得，即得的长度；（2）求得的通项公式，根据数列通项的特点可利用裂项求和法求出数列的前项和；假设存在正整数，使得，，成等比数列，建立等式关系，用表示出，再根据，可求出所求．

试题解析：

考点：1、一元二次不等式的解法；2、等比数列的性质；3、数列求和．

【方法点睛】对于（2）第１问中类型的数列求和须采用裂项相消法求和．“裂项相消法”——就是把通项拆分成“两项的差”的形式，使得恰好在求和时能够“抵消”多数的项而剩余少数几项．本题主要考查了数列的递推关系，等比关系的确定以及裂项求和法的应用，同时考查了分析问题与解决问题的能力，属于中档题．