Question

已知函数.

（1）若的解集为，求不等式的解集；

（2）若存在使得成立，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由于，将化为，利用一元二次不等式的解集求出的值，代入不等式后解之；（2）法一：由于将转化为，再构造函数求其最小值，即可得的取值范围；法二：将转化为，构造函数，问题转化，再利用分类讨论思想求在上的最小值即可．

试题解析：（1），

不等式的解集为，

是方程的根，且m<0，

．

不等式的解集为

⑵法一： ．

存在使得成立，即存在使得成立，

令，则，

令，则，，

当且仅当即时等号成立.，

.

法二：，，

令，

存在使得成立，即存在成立，即成立，

当时，在上单调递增，，显然不存在；

当时，在上单调递减，在上单调递增，，由可得 ，

综上，

考点：1、一元二次不等式；2、函数最值．

【方法点睛】（２）中法一采用了分离变量法．不等式存在解等价于．分离变量法是通过将两个变量构成的不等式（方程）变形到不等号（等号）两端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法，两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知．本题考查了一元二次不等式的解法，考查了转化思想、分类讨论思想的应用，综合性较强，属于中档题．