Question

已知数列中，，其前项和满足，其中.

（1）求证：数列为等差数列，并求其通项公式；

（2）设为数列的前项和.

①求的表达式；

②求使的的取值范围．

Answer

（1）证明见解析，；（2）①；②，且．

【解析】

试题分析：（1）把整理为：，即，即可说明数列为等差数列；再结合其首项和公差即可求出的通项公式；（2）因为数列的通项公式为一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列，故直接利用错位相减法求和即可．

试题解析：（1）由已知，，即，且，∴数列是以为首项，公差为1的等差数列，∴

（2）∵，∴，

①

②

①-②得：

∴

代入不等式得：，即，

设，则，

∴在上单调递减

∵，

∴当时，，当时，，

所以的取值范围为，且

考点：1、数列的求和；2、等差数列的判断、通项公式；3、数列与不等式；4等比数列的前项和公式．

【方法点睛】证明或判断等差数列的常用方法有：定义法、等差中项法、通项公式法、前项和法.本题用的是定义法.数列求和的常用方法有：公式法、倒序相加法、分组转化法、裂项相消法、乘公比错位相减法、合并项求和法.本题主要考查等差关系的确定以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题．错位相减法适用于一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列．