Question

已知等差数列的公差为-1，且.

（1）求数列的通项公式与前项和；

（2）将数列的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项，记的前项和为，若存在，使对任意，总有恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1） ，；（2）．

【解析】

试题分析：（1）先利用以及等差数列的性质，求出，再把公差代入即可求出首项，以及通项公式和前项和；（2）先由已知求出等比数列的首项和公比，代入求和公式得，并利用函数的单调性求出其范围；再利用（1）的结论以及恒成立，即可求实数的取值范围．

试题解析：（1）由得，∴，∴，从而

（2）由题意知，设等比数列的公比为，则，

∴，则是递增数列，得.

若存在，使对任意，总有恒成立，

因为，，

若存在，使对任意，恒成立，

则，得.即实数的取值范围.

考点：1、等差数列的通项公式和前项和公式；2、等比数列的通项公式和前项和公式；3、数列的性质．

【思路点睛】第一小题的关键是求首项，也可以根据条件列出关于首项和公差的方程组求得首项，再写出通项公式和前项和公式；第二小题的关键是求出，确定其取值的范围，再利用的最大值建立不等关系求解.本题主要考查等差数列和等比数列的基础知识，以及数列与函数的综合问题，等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合，属于中档题．