Question

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马，侧棱底面，且，点是的中点，连接.

（1）证明：平面，试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

（2）记阳马的体积为，四面体的体积为，求．

Answer

（1）证明见解析，四面体是一个鳖臑，；（2）．

【解析】

试题分析：（1）欲证平面，需在平面内找到两条相交的直线都与垂直，即证，即可；（2）根据锥体的体积公式表示出，，再利用之间的长度关系即可求得．

试题解析：（1）因为底面，所以，由底面为长方形，有，而，所以平面平面，所以，又因为，点是的中点，所以，而，所以平面.由平面，平面可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是.

（2）由已知，是阳马的高，所以；由（1）知：是鳖臑的高，，所以

在中，因为，点是的中点，所以，于是

考点：1、线面垂直的判定；2、柱锥台体的体积公式．

【方法点睛】要判断一条直线与一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直；因此证明线面垂直的问题，应转化为先证明线线垂直，证明线线垂直的常用方法有：①勾股定理的逆定理（已知长度），②等腰三角形的三线合一，③利用线面垂直的性质，④正方体（长方体）中的线线垂直、线面垂直．本题主要考查的是线面垂直的判定和性质，考查锥体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．