Question

设函数.

（1）若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；

（2）若对于恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1） ；（2） ．

【解析】

试题分析：（1）首先注意对实数的取值进行讨论，再结合二次函数的图像和性质，即可求出实数的取值范围；（2）根据条件，先将实数从不等式中分离出来，再结合构造函数以及函数的单调性和最值，即可求得实数的取值范围．

试题解析：（1）由已知，对于一切实数恒成立，

当时，恒成立

当时，只需，解得

故，的取值范围是

（2）由已知，对恒成立

即对恒成立

因为，所以对恒成立

令，则只需在上的最小值

而在上是单调递增函数，

所以，所以 ，所以

故，的取值范围是

考点：1、二次函数的图象和性质；2、极端不等式恒成立问题.

【思路点晴】本题是一个关于二次函数的图象和性质、极端不等式恒成立等方面综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：对问题（1）首先注意对实数的取值进行讨论，再结合二次函数的图象和性质，即可求出实数的取值范围；对问题（2）根据条件，先将实数从不等式中分离出来，再结合构造函数以及函数的单调性和最值，即可求得实数的取值范围．