Question

设函数.

（1）当时，求函数曲线在区间上的最值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）最小值为，最大值为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据导数求出函数在其定义域上的单调性，求得其极值和区间端点的函数值，比较即得函数在区间上的最值；（2）要使恒成立，则，对求导可得，分，，三种情况分别求出讨论其单调性，求得的最小值，解不等式即得实数的取值范围.

试题解析：（1）当时，，其定义域为，则.

令，得；令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在区间上的最小值为；又，，且，所以，

所以函数在区间上的最大值为.

（2）

①当时，令，得；令，得，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

所以函数在区间上的最小值为；

若恒成立，则，即，即，

又因为，所以，解得，所以；

②当时，恒成立，所以符合题意；

③当时，令，得；令，得，

所以函数在区间上单调递增在区间上单调递减

且数形结合易知，一定存在某个，使得在区间上，函数的图象在函数的图象的下方，即满足，即，即.

所以不恒成立，故不符合题意，舍去；

综上，实数的取值范围是.

考点：利用导数研究函数在闭区间上的最值及函数的恒成立.

【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值及函数的恒成立，考查了分类讨论的数学思想，属于难题.本题解答的难点是第（2）把不等式恒成立，转化为，通过讨论的符号得到其在定义域内的单调性，其中和时的情况比较简单，难点是时，通过前面两种情况的解答说明在其定义域内存在不满足不等式的点来排除，这也是分类讨论中常用的技巧.