Question

已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点.

（1）若直线过焦点，且与抛物线交于两点，若是的一个靠近点的三等分点，且点的横坐标为1，弦长时，求抛物线的方程；

（2）在（1）的条件下，若是抛物线上位于曲线（为坐标原点，不含端点）上的一点，求的最大面积.

Answer

（1） ；（2） .

【解析】

试题分析：（1）设点，由抛物线的定义可得，从而求得的值；（2）由（1）求得两点坐标，分别讨论①当点时，点和点时，点两种情况下，的最大面积，可通过把直线平移到与抛物线相切，利用导数的几何意义求出切线方程，得到的面积最大值.

试题解析：（1）设点，则，

所以由抛物线的定义，得，

解得，

所以抛物线的方程为.

（2）由（1）得，焦点，.

将代入抛物线中，得，得点；

将代入抛物线中，得，得点.

①当取点时，点，此时直线的方程为.

数形结合易知，当与直线平行的直线与抛物线相切于第一象限的点时，的面积取得最大值.

由，得，取导数，

令，得.

将代入抛物线中，得.

所以当点的坐标为时，的面积取得最大值，此时点到直线的距离是，

，

所以的最大面积是.

②当取点时，点，同理，也验证的最大面积是；

综上，的最大面积是.

考点：抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系.

【方法点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系，考查了考生数形结合的思想和运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据抛物线的定义由弦的长求得抛物线方程，进而得到两点的坐标，通过讨论分别求出取不同的点时，的最大面积，其中求面积的最大值时，通过运动与变化的观点及导数的几何意义求得是面积最大的点的坐标，这是本题的难点.