Question

已知函数.

（1）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围；

（2）函数，若使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）或；（2）.

【解析】

试题分析：（1）在区间上是单调函数，说明其导函数在没有变号零点，由于，所以分析与区间的关系即可实数的取值范围；（2）不等式在区间上有解，即在区间上有解，分离参数可得在区间上有解，构造函数，利用导数研究其单调性并求得其最大值即得实数的取值范围.

试题解析：（1），当导函数的零点落在区间内时，

函数在区间上就不是单调函数，所以实数的取值范围是：或.

（2）由题意知，不等式在区间上有解，

即在区间上有解.

当时，（不同时取等号），.

，在区间上有解.

令，则

单调递增，

时，

所以实数的取值范围是.

考点：利用导数研究函数的单调性、在给定区间上的最值及不等式的有解问题.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、在给定区间上的最值及不等式的有解问题，考查了转化的数学思想及函数与不等式的思想，属于中档题.对于函数在某个区间上的单调性问题通常转化为不等式的恒成立问题，本题中通过分析导函数的零点与所给区间的关系即得参数的范围，本题解答的关键是第二问中把不等式的有解通过分离参数转化为求函数的最值问题，通过构造新函数，利用导数研究其单调性并求得其最大值即得所求的范围.