Question

已知椭圆:的离心率为，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）在轴上，是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）（2）存在定点

【解析】

试题分析：（1）由右焦点求得值，由离心率求得值，进而，从而确定椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，借助于根与系数的关系将转化为用两交点坐标来表示，进而转化为直线的斜率和点坐标来表示，观察关系式得到为定值时需满足的条件

试题解析：（1）由已知可得，解得，所求的椭圆方程为

（2）设点且斜率为的直线的方程为

由得，则

解得

设，则

又，

．

设存在点，则，，

所以

，

要使得（为常数），只要，

从而，

即

由（1）得，

代入（2）解得，从而，

故存在定点，使恒为定值．

考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题