Question

如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，，若为的中点，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）当的长为时，二面角的值为

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知得为等边三角形，，再由，能证明⊥平面ABCD．

（Ⅱ）过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出当BP的长为时，二面角的值为

试题解析：（Ⅰ）证明：∵，且，

∴为等边三角形

∵为的中点

∴，

又，且，

∴平面．

（Ⅱ）【解析】
过作，以为原点，建立空间直角坐标系（如图）

则，，

设，

平面的法向量为，

∵，，

且，

取，得

平面的一个法向量为

由题意得，

解得或（舍去），

∴当的长为时，二面角的值为.

考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定