Question

如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．

（Ⅰ）求证平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值；

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）结合已知条件本题可采用向量法求解，证明线面平行只需证明直线的方向向量垂直于平面的法向量；（Ⅱ）中由线面所成角需找到直线的方向向量与平面的法向量，利用公式求线面角

试题解析：（Ⅰ）（法一）取中点为，连接、，

且，

，则 且．

四边形为矩形， 且，

且，

，则．

平面，平面，

平面．

法二四边形为直角梯形，四边形为矩形，

，，

又平面平面，且平面平面，

平面．

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，

所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．

根据题意我们可得以下点的坐标：

，，，，，，

则，．

为平面的一个法向量．

又，

∴

∵平面

平面．

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，，，则 ， 取，得．

，设直线与平面所成角为，则

．

所以

所以与平面所成角的余弦值为

考点：线面平行的判定；线面所成角