Question

如图，四凌锥中，底面为平行四边形，,，为的中点．

（1）证明：∥平面；

（2）若底面为矩形，三棱椎的体积，求二面角的正切值．

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明线面平行可证明直线平行于平面内一条直线，本题中可证明OE∥PB来得到PB//平面AEC；（2）由三棱锥的体积可得到的长度，结合二面角的定义可得到二面角的平面角为∠PBA，通过解直角△PAB可得二面角的大小

试题解析：（1）证明：设AC与BD交于点O, ∵ABCD是平行四边形，

故O是BD中点，连结OE，在△DPB中，

∵E是PD的中点，∴OE∥PB，

∵OE平面AEC，∴PB//平面AEC；

（2）∵

∴

∴PA⊥BC

∵底面ABCD为矩形，则△DAB是直角三角形，AB⊥BC，又PA⊥BC，

∴BC⊥面PAB，所以PB⊥BC，∠PBA即为二面角的平面角，

∴三棱椎 P-ABD的体积，解得，

在直角△PAB中，

所以二面角的正切值为．

考点：线面平行的判定；二面角求解