Question

已知函数在点处的切线为.

（1）求函数的解析式；

（2）若，且对任意，都有成立，求的最大值.

Answer

（1）；（2）4.

【解析】

试题分析：（1）由已知可得，；（2）原不等式化为，令，则，求导得，．令，利用导数工具判断有一零点，进而求出是极小值点，从而求出最小值为，又，，，的最大值为．

试题解析：

【解析】
（1）的定义域为，，

．

（2）可化为，

令，则，

，．

令，

则，

在上为增函数．

又，，

故存在唯一的使得，即．

当时，，

，在上为减函数；

当时，，

，在上为增函数．

，

．

，，

，的最大值为4．

考点：1、导数的几何意义；2、利用导数判定函数的单调性；3、利用导数求函数的极值和最值；4、函数的零点.

【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数判定函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值；和函数的零点，综合性强，属于难题.研究第二小题时首先应将原不等式转化为，再求最小值，而在求最小值时，求导得，将其分子记为，再求的零点，进而求得该零点就是的最小值点，从而得到最小值为，进而求出的最大值.