Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为坐标原点，圆，，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点在圆上，且轴，与在轴两侧，直线分别与轴交于点，求证：为定值.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由题意知可得，,根据椭圆的定义可求得,得,即可求椭圆方程；(2)设，,有已知可得,：，：，从而求出，,可得,即故为定值．

试题解析：（1）【解析】
由题意知，，，．

∵点在椭圆上，

∴由椭圆的定义，得，

，，

故椭圆C的方程为．

（2）证明：如图所示，设，，且，．

由题意，得圆O：．

∵点E在椭圆C上，点F在圆O上，

即

，，

：，：，

∴直线与x轴的交点，直线与x轴的交点，

，

，

，

，

故为定值

考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的方程；3、直线与圆锥曲线；4、向量的数量积.