Question

某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为，体积为．

（1）求关于的函数关系式；

（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，的最大值是多少？并求此时的值．

Answer

（1）；（2）体积的最大值为,此时.

【解析】

试题分析：（1）先求正三棱锥侧面的高,再求棱锥的高,最后体积公式建立函数即可；（2）先运用导数的知识求体积函数的平方的最大值,再回答问题中涉及到的问题.

试题解析：【解析】
（1）正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．

设正三棱锥侧面的高为，高为．由题意得：，解得．

则，．

所以，正三棱锥体积，

（2）设，求导得，令，得

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

所以当时，取得极大值也是最大值．此时，所以．

答：当底面边长为时，正三棱锥的最大体积为．

考点：（1）勾股定理、三棱锥的体积公式及运用；（2）导函数在研究函数单调性、最值中的运用；（3）数学知识的应用意识与建模的数学思想及运算求解能力和分析解决问题的能力.