Question

如图，在斜三棱柱中，侧面是边长为的菱形，．在平面中，，，为的中点，过，，三点的平面交于点．

（1）求证：为中点；

（2）求证：平面平面．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）先运用面面平行的性质定理证明线线平行,再借助平面几何中的“过一边中点而平行一边的直线必过另一边的中点”的结论即可获证；（2）先用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再运用面面垂直的判定定理证明即可.

试题解析：证明: （1）由题设平面平面，平面与平面交于直线，

与平面交于直线，可知．

因为，所以，所以．

因为为的中点，所以，所以为中点．

（2）因为四边形是边长为的菱形，．

在三角形中，，，由余弦定理得，

故，从而可得，即．

在三角形中，，，，

则，从而可得，即．

又，则．因为，面，面，

所以平面．又平面，所以平面平面．

考点：(1)面面平行的性质定理和平面几何中平行线分线段成比例的逆定理及运用；(2)线面垂直、面面垂直的判定定理的运用及分析问题解决问题的能力.

【易错点晴】本题主要考查的空间线面位置关系的推理证明题，属于一道中档偏难的试题,也是我们江苏必考的题型．解答这类问题时,务必要清楚所要求证的问题的判定定理的内容和条件,想方设法探寻出这些条件的所在,并将其推证明白.如本题中的第1问,解答时充分借助平面与平面平行的性质,证出了线线平行,进而确定点为中点;再如第2问,证明面面垂直,先将问题转化为证明线面垂直,最后运用经过一个平面的垂线的平面也与另一个平面垂直,体现了数学中转化与化归的数学思想的巧妙运用.