Question

已知离心率为的椭圆C:经过点(0,-1),且F₁、F₂分别是椭圆C的左、右焦点,不经过F₁的斜率为k的直线l与椭圆C相交于A、B两点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如果直线AF₁、l、BF₁的斜率依次成等差数列,求k的取值范围,并证明AB的中垂线过定点.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ），直线过定点.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据条件，和椭圆的性质，得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线的方程：，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并且，用坐标表示，结合根与系数的关系，得到，最后代入得到的取值范围；根据以上所求关系得到线段的中点，并且设出直线AB的方程，经过整理得到，得到定点.

试题解析：（Ⅰ）由条件知，且b=1，解得a2=2，

椭圆C的方程为.

（Ⅱ）令直线l的方程为，

代入椭圆方程得:.

由得，解之得.

令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则.

由条件得，

即.

因为，，即.

将代入中，得

..

由上知，，于是得AB中点坐标为，

中垂线方程为:.

将代入得:，

整理得:.

故AB的中垂线过定点.

考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.

【思路点睛】本题第二问考察是否过定点问题，一般考察直线过定点问题，首先是设直线，斜率存在时设，然后通过方程发现的等量关系，代入后即得到直线所过定点，或是通过特殊情况先发现定点，然后通过条件证明点和定点，三点共线；而本题所采用就是第一种方法，根据直线方程与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，和将本题所给的三个斜率成等差数列的等式转化为坐标的关系，就会得到的等量关系和中点坐标，最后代入中垂线方程，问题就迎刃而解了.