Question

如图，在直三棱柱中，已知，，，.是线段的中点.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的大小的余弦值.

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）利用空间向量研究线面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求面的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值的绝对值，也是线面角的正弦值（2）利用空间向量研究二面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求两个平面的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值，根据图形确定二面角的大小的余弦值与夹角余弦值之间关系.

试题解析：因为在直三棱柱中，，所以分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

则,

因为是的中点，所以，

（1）因为，设平面的法向量，

则，即，取，

所以平面的法向量，而，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为；

（2），，设平面的法向量，

则，即，取，平面的法向量，

所以，

二面角的大小的余弦值．

考点：利用空间向量研究线面角、二面角