Question

已知函数，直线为曲线的切线．为自然对数的底数．

（1）求实数的值；

（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．

Answer

（1）1．（2）

【解析】

试题分析：（1）由导数几何意义得，设切点，则，再由切点在及切线上得，解方程组得（2）先确定函数，构造目标函数，利用导数研究其单调变化趋势：存在唯一的实数， ，；，，即，而函数为增函数，则在，恒成立．分两段讨论：当时，，解得；当时，解得，因此实数的取值范围为

试题解析：（1）对函数求导得．

设直线与曲线切于点，则，

解得．所以的值为1．

（2）记函数，，下面考察函数的符号．

对函数求导得，．

当时，恒成立．

当时，，

从而

所以在内恒成立，故在内单调递减

因为，，所以．

又曲线在区间上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知，存在唯一的实数，使．

所以，；，．

所以

从而

所以

由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，恒成立．

（1）当时，在内恒成立，即在恒成立．记，，则，．

当变化时，，变化情况列表如下：

0

极小值

所以．

故“在恒成立”只需，即…14分

（2）当时，，当时，在内恒成立，综合（1）（2）知，当时，函数为增函数．

故实数的取值范围是．

考点：导数几何意义，利用导数研究函数最值，利用导数研究不等式恒成立问题