Question

某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，两点为喷泉，圆心为的中点，其中米，半径米，市民可位于水池边缘任意一点处观赏．

（1）若当时，，求此时的值；

（2）设，且．

（i）试将表示为的函数，并求出的取值范围；

（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时，观赏角度的最大值不小于，试求两处喷泉间距离的最小值．

Answer

（1）（2）（i），；（ii）

【解析】

试题分析：（1）已知中，两角一边求另一边，应用正弦定理：得

（2）（i）利用余弦定理得及，从而，即，再根据求的取值范围，

（ii）结合条件，利用余弦定理建立函数关系式：，利用基本不等式得，即，解得

试题解析：（1）在中，由正弦定理得，，

易得．

（2）（i）易知，，

故，

又因为，即，解得，

即，；

（ii）当观赏角度的最大时，取得最小值，由余弦定理可得

由题意可知，解此不等式得，

经验证，，即．

答：（1）此时；

（2）（i）所得函数关系式为，；

（ii）两处喷泉间距离的最小值为．

考点：正余弦定理，基本不等式求最值