Question

在三棱锥P－ABC中，D为AB的中点．

（1）若与BC平行的平面PDE交AC于点E，求证：点为的中点；

（2）若PA＝PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC．

Answer

（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）已知线面平行，一般利用线面平行性质定理转化为线线平行：BC∥DE．再根据三角形中位线性质得E为AC中点．（2）先由PA＝PB，得 AB⊥PD，再利用面面垂直性质定理转化为线面垂直，作PO⊥CD，则PO⊥平面ABC，从而得PO⊥AB，最后根据线面垂直判定定理得AB⊥平面PCD，即得AB⊥PC．

试题解析：（1）平面PDE交AC于点E，即平面PDE∩平面ABC＝DE，

而BC∥平面PDE，BC⊂平面ABC，所以BC∥DE．

在△ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC中点．

（2）因为PA＝PB，D为AB的中点，所以AB⊥PD，

因为平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC＝CD，

在锐角△PCD所在平面内作PO⊥CD于点O，则PO⊥平面ABC．

因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB，

又PO∩PD＝P，PO，PD⊂平面PCD，则AB⊥平面PCD，

又PC⊂平面PCD，所以AB⊥PC．

考点：线面平行性质定理，面面垂直性质定理，线面垂直判定与性质定理