Question

已知椭圆：（）的离心率为，椭圆与轴交于两点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆上的一个动点，且点在轴的右侧，直线与直线交于两点，若以为直径的圆与轴交于，求点横坐标的取值范围及的最大值．

Answer

（1）（2）点横坐标，的最大值2．

【解析】

试题分析：（1）先根据椭圆性质确定两个独立条件：，，解方程组得（2）根据题意用点横坐标表示两点坐标：设，则可求得，，因而可得以为直径的圆，进而得到与轴弦长，此时需要利用进行化简得，因此可得点横坐标，的最大值2．

试题解析：（1）由题意可得，，，

得， 解得， 椭圆的标准方程为.

（2）设，，，

所以，直线的方程为，同理得直线的方程为

， 直线与直线的交点为，

直线与直线的交点为，

线段的中点，

所以圆的方程为，令，

则， 因为，所以 ，

所以，

因为这个圆与轴相交,该方程有两个不同的实数解，

所以，解得．

设交点坐标，则（），

所以该圆被轴截得的弦长为最大值为2．

考点：直线与圆位置关系，两直线交点