Question

已知数列，其前项和为．

（1）若是公差为的等差数列，且也是公差为的等差数列，求数列的通项公式；

（2）若数列对任意，且，都有，求证：数列是等差数列．

Answer

（1）（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）利用恒等式求等差数列通项公式：，因此，代入得（2）从任意性入手：取，，取，，因此，即， ，而去，，因此

试题解析：（1）设，则，

当时， ，① ，②

， ③ 联立①②③消去，得 ④

⑤ ④⑤得：，则，⑥

将⑥代入⑤解出（舍去），

从而解得，所以.

此时，对于任意正整数满足题意.

（2）因为对任意，，都有， ①

在①中取，， ②

同理，③

由②③知，,即，

即，

②中令，，

从而，即，

所以，数列成等差数列.

考点：求等差数列通项公式，证等差数列