Question

已知抛物线的顶点在原点，准线方程为，是焦点，过点的直线与抛物线交于两点，直线分别交抛物线于点.

（1）求抛物线的方程及的值；

（2）记直线的斜率分别为，证明：为定值.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线的定义即可得出抛物线方程，再联立的方程，消去，由韦达定理可得的值；（2）设出的坐标，由斜率公式表示出，消去变量即可得出的定值．

试题解析：（1）依题意，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，由准线x＝＝1，得p＝2，

所以抛物线方程为y2＝－4x，

设直线PQ的方程为x＝my－2，代入y2＝－4x，

消去x，整理得y2＋4my－8＝0，

从而y1y2＝－8.

（2）证明 设M(x3，y3)，N(x4，y4)，

则.

设直线PM的方程为x＝ny－1，代入y2＝－4x，

消去x，整理得y2＋4ny－4＝0，

所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4.

故，为定值．

考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物的几何性质；3、斜率公式；4、直线方程．