Question

如图，在直角梯形中，，，是的中点，将沿折起，使得面.

（1）求证：平面平面；

（2）若是的中点，求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）证明底面，利用面面垂直的判定，可得平面⊥底面；（2）证明点到平面的距离即点到平面，利用等体积转换，即可得三棱锥的体积．

试题解析：（1）证明 证法一 ∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD.

又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB＝BC，∴ABCD为正方形，

∴AD⊥CD，又PD∩CD＝D，故AD⊥底面PCD，

因AD平面PAD，所以平面PAD⊥底面PCD.

证法二 由于CP∥AB，CP⊥CB，AB＝BC，

∴ABCD为正方形，∴AD⊥PC，折叠后，AD⊥CD，AD⊥PD，

又PD∩CD＝D，故AD⊥底面PCD，

因AD平面PAD，所以平面PAD⊥底面PCD.

（2）∵AD∥BC，又BC平面PBC，AD平面PBC，所以AD∥平面PBC.

∴点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离．

又∵PD＝DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC.

由(1)知有AD⊥底面PCD，所以有AD⊥DE.

由题意得AD∥BC，故BC⊥DE.

于是，由BC∩PC＝C，可得DE⊥底面PBC.

∴DE＝，PC＝2，

又∵AD⊥底面PCD，∴AD⊥CP，∵AD∥BC，

∴AD⊥BC.

∴S△PEB＝S△PBC＝×＝

∴VA－PEB＝VD－PEB＝×DE×S△PEB＝.

考点：1、平面与平面垂直的判定；2、锥体的体积．

【方法点睛】证明面面垂直的关键是证明线线垂直，再证明线面垂直，常用方法有定义法，面面垂直的判定定理，向量法；证明线线垂直常用的方法是等腰三角形底边上的高线，菱形对角线互相垂直，勾股定理，线面垂直的定义．解决折叠问题的方法：①根据题中条件画出立体图形；②比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化；③将不变的条件集中到立方体图形中，将问题归结为一个条件与结论明朗化的立几问题．本题主要考查线面、面面垂直的判定和锥体的体积的计算，属于中档题．