Question

已知底面边长为的正三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的表面积之比为         .

Answer

【解析】

试题分析：设球、球的半径分别为，∵正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，∴球心在上下底面中心的连线的中点上，如图，，在中，，∵， ∴，，∴球与球的表面积之比等于.所以答案应填：．

考点：1、球的表面积公式；2、正三棱柱的性质．

【思路点睛】正三棱柱的外接球和内切球的球心为同一点，在上下底面中心的连线的中点上，外接球的半径为球心到各顶点的距离，内切球的半径为球心到各面的距离，找出两球半径和三棱柱的底边的关系再代入球的表面积计算公式即可．本题以三棱柱为依托，考查正三棱柱的外接球及其内切球的性质，考查空间想象能力，逻辑推理能力和运算求解能力，是知识考查与能力考查并重的基础性试题．