Question

已知数列的前项和为，若，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为.

①求；

②对于任意的及，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）①；②.

【解析】

试题分析：（1）根据数列通项公式与前项和公式关系进行求解，由整理后，根据式子的特点，采用累积法进行求解（累积法也是求数列通项中常用的方法）；（2）①由（1）可求得数列的解析式，根据的特点可采用裂项求和法进行求解；②由“恒成立”等价“恒成立”，可对的单调性进行判断，并求出其最小值为，再由二次不等式恒成立求出实数的范围.

试题解析：（1）在中，令，得，

∵，∴当时，，

两式相减，得，

∴，即.

∴，

故.

（2）①，

，

所以.

②∵，单调递增，故，

∵，∴对于任意的恒成立，

∴对于任意的恒成立，

∴，又也成立，∴实数的取值范围是.

考点：1、数列通项公式（累积法）；2、数列前和（裂项求和法）；3、数列与不等式恒成立问题.

【方法点晴】此题主要考查数列的通项公式和前项和公式的求解、以及数列与不等式恒成立问题，注意累积法（累积法：根据所给数列的递推公式将式子整理为比式，然后将式子两边相乘消去中间，从而求得数列的通项公式.）、裂项求和法（可将数列通项公式分裂成两项之差，然后将式子两边相加，消去中间项，从而求出数列前和.）的应用，属于中高档题，在数列与不等式恒成立问题中，常会利用到数列的单调性求出其最值，再根据不等式的性质及恒成立问题进行求解或证明.