Question

设函数，其中a，x∈R，e是自然对数的底数，.

(Ⅰ)当a=0时，解不等式；

(Ⅱ)求函数的单调增区间；

(Ⅲ)设，讨论关于x的方程的解的个数．

Answer

(Ⅰ) (Ⅱ) 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．(Ⅲ) 当时，原方程无解；当时，原方程有两个不同的实数解

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 当时，不等式即(Ⅱ)分①，，，

四种情况讨论，注意不同情况下的定义域问题；(Ⅲ) 由（2）知：当时，因为，可知的值域为，且（等号仅当时取）. 令，时，原方程无解；当时，原方程有两个不同的实数解

试题解析：(Ⅰ)当时，不等式即，

即，因此

得，所以，

所以原不等式的解集为.

（2）①当时，因为时，，

时，，故在区间上单调递减，在区间上单调递增；…5分

②当时，仿①得在和上单调递减，在上单调递增.即在区间上单调递减，在区间上单调递增；

③当时

易得在区间上单调递减，在区间上单调递增；

④当时，

同理得在区间上单调递减，在区间上单调递增.

综上所述，

当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；

当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．

（3）由（2）知：当时，因为，

又时，，

所以的值域为，且（等号仅当时取）.

令，

当时，，所以不成立，原方程无解；

当时，由得，因为，所以，所以有两个不相等的实数根，故原方程有两个不同的实数解.

综上所述，当时，原方程无解；当时，原方程有两个不同的实数解

考点：函数综合