Question

如图，在直三棱柱中，，．

（I）求证：平面；

（II）若为的中点，求与平面所成的角．

Answer

（I）见解析（II）与平面所成的角为

【解析】

试题分析：（I）根据平面，证出，结合1得到平面，从而证出1．然后在正方形中证出，可得出平面；

（II）设与相交于点，则点是线段的中点．连接，由题意知是正三角形．可证与的交点为重心，连接．

由（I）知平面，于是是与平面所成的角．在直角中．计算

正弦值即可．

试题解析：（I）由题意知四边形是正方形，故．

由平面，得．

又，所以平面，故．

从而得平面．

（II）设与相交于点，则点是线段的中点．

连接，由题意知是正三角形．

由，是的中线知：与的交点为重心，连接．

由（I）知平面，故是在平面上的射影，于是是与平面所成的角．

在直角中，， ，

所以．

故，即与平面所成的角为．

考点：直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角