Question

给定椭圆C： (a>b>0)，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，且其短轴上的一个端点到F的距离为.

(Ⅰ)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

(Ⅱ)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，试判断l₁，l₂是否垂直，并说明理由．

Answer

(Ⅰ) 椭圆方程为，准圆方程为. (Ⅱ) 垂直，理由见解析

【解析】

试题分析：(Ⅰ)由题意可得，，则，从而得到椭圆方程和其“准圆”方程；

(Ⅱ)①当中有一条直线的斜率不存在时，可证直线垂直

②当的斜率都存在时，设点，其中设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，联立方程消去，由化简整理得。设直线的斜率分别为，可得，即垂直．

综合①②知，垂直．

试题解析：(Ⅰ)由题意可知，则，所以椭圆方程为 .易知准圆半径为，则准圆方程为.

(Ⅱ)①当中有一条直线的斜率不存在时，

不妨设的斜率不存在，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，

当的方程为时，此时与准圆交于点此时经过点 或 且与椭圆只有一个公共点的直线是或，

即为或，显然直线垂直；

同理可证直线的方程为时，直线也垂直．

②当的斜率都存在时，设点，其中设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为由消去，得由化简整理得，因为所以有

设直线的斜率分别为因为与椭圆只有一个公共点，所以 满足方程(3－)t2＋2x0y0t＋－3＝0，所以，即垂直．

综合①②知，垂直．

考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系