Question

已知函数（）

（1）求的最小值；

（2）若，判断方程在区间内实数解的个数；

（3）证明：对任意给定的，总存在正数，使得当时，恒有.

Answer

（1）（2）在区间内有唯一实数解（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）求导,讨论的单调性，即可得的最小值（2）时，，讨论，的符号，以及的图像是连续的可知，在区间内有实数解，从而在区间内有实数解，然后由单调性可知在区间内至多有一个实数解，故在区间内有唯一实数解（3） 由（1）知：即时， ①又由得：所以时， ②，则由①②知：取，可知使得当时，恒有

试题解析：（1）

当时，，当时，，

所以在单调递减，在单调递增，

从而

（2）时，

因为，，且的图像是连续的，

所以在区间内有实数解，从而在区间内有实数解；

又当时，，所以在上单调递减，

从而在区间内至多有一个实数解，

故在区间内有唯一实数解.

（3） 证明：由（1）知：

所以时， ①

由得：

所以时， ②

由①②知：取，则当时，

有即成立

考点：利用导数研究函数的性质