Question

如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点.

（1）证明：平面⊥平面；

（2）若直线与平面所成的角为45°，求三棱锥的体积.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明，，推出平面AE⊥利用平面与平面垂直的判定定理证明平面⊥平面

（2）取的中点为，说明直线与平面所成的角为，就是，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．

试题解析：（1）如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，

又是正三角形的边的中点，所以

又，因此平面

而平面，所以平面平面

（2）设的中点为，连结

因为是正三角形，所以

又三棱柱是直三棱柱，所以

因此平面，于是为直线与平面所成的角，

由题设，，所以

在中，，所以

故三棱锥的体积

考点：几何体的体积，平面与平面垂直的判定定理