Question

已知函数，数列满足：

（1）证明：在上是增函数

（2）用数学归纳法证明：；

（3）证明：

Answer

证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）只要证明其导函数满足即可；（2）由数学归纳法的要求，关键是设，证明0＜＜1，而这可由（1）的结论得到；（3）仿照（2）如果能构造函数，且能证明在上恒成立，即能证明题设结论，注意到，因此可证明在上单调递增即可．

试题解析:⑴因为时，所以在上是增函数，

(2)证明:

①当时，由已知，结论成立。

②假设当时结论成立，即，

因为在上是增函数，又在 上图像不间断，

从而，即，

故当时，结论成立。

由①②可知，对一切正整数都成立。

（3）设函数，由⑴可知，当时，.

从而, 所以在上是增函数.

又，所以当时，成立.

于是，即，故-

考点：导数与函数的单调性，数学归纳法，构造法证明不等式．